1.2.1 平行投影 (Parallel Projection)#

• 投影中心 (center of projection, COP) 位于无穷远处。
• 所有投影线平行。
• 平行性得以保持。

1.2.2 透视投影 (Perspective Projection)#

• COP 位于投影平面的一定距离处。
• 所有投影线在 COP 汇聚。
• 平行性通常不保留。

1.3.1 正投影 (Orthographic Projection)#

• 投影线垂直于投影平面。

• 多视图正投影 (Multi-view Orthographic Projection): 投影平面 平行于 某一个坐标平面

  

1.3.2 斜投影 (Oblique Projection)#

• 投影线不垂直于投影平面。

1.5.1 正投影矩阵#

假设观察者位于原点 $(0, 0, 0)$，投影平面位于 $(0, 0, d)$ 并平行于 $XY$ 平面。

给定点 $(x, y, z)$，投影点 $(x', y', z')$ 为：

$x' = x, \, y' = y, \, z' = d$

投影矩阵为：

1.5.2 透视投影矩阵#

假设观察者位于原点 $(0, 0, 0)$，投影平面位于 $(0, 0, d)$ 并平行于 $XY$ 平面。

给定点 $(x, y, z)$，投影点 $(x', y', z')$ 为：

$x' = d \cdot x / z, \, y' = d \cdot y / z, \, z' = d$

投影矩阵为：

2.2.1 科恩-萨瑟兰线裁剪算法 (Cohen-Sutherland Line-Clipping Algorithm)#

• 为线段的每个端点分配一个4位代码。
• 简单接受 (Trivial Accept)：如果两端点的代码均为“0000”，线段完全在裁剪区域内。
• 简单拒绝 (Trivial Reject)：如果两端点代码的按位与(AND)不为零，线段完全在裁剪区域外。
• 否则，计算交点并迭代更新代码。

2.2.2 萨瑟兰-霍奇曼多边形裁剪算法 (Sutherland-Hodgman Polygon-Clipping Algorithm)#

• 输入：二维多边形；输出：裁剪后的多边形顶点。
• 步骤：
  1. 根据顶点相对于裁剪区域的位置标记为“内部”或“外部”。
  2. 计算穿过裁剪边界的边的交点。
  3. 用交点替换外部顶点，并对所有边重复操作。
  4. 对裁剪区域的每条边界重复该过程。

解答#

• 在3D空间中，裁剪区域是一个立方体，有6个边界（上、下、左、右、前、后）。
• 需要定义6位编码来表示线段的端点与立方体的位置关系。
• 完全接受：线段两个端点都在立方体内。
• 完全拒绝：线段两个端点都在立方体的同一侧外部。

There are 6 borders (i.e., the 6 faces of the 3D cube), top, bottom, left, right, front, back, 27 sub-regions, and thus the 6-bit code-words should be defined. Define the trivial accept and trivial reject criteria

解答#

1. 初始化：使用多边形x的顶点列表。
2. 遍历裁剪区域的每一边：对于每一条裁剪边，调用裁剪算法检查多边形x的每一条边。
3. 判断每一顶点的关系
   • 如果顶点在裁剪区域内，保留该顶点。
   • 如果顶点在裁剪边外，检查与裁剪边的交点，并将交点添加到新顶点列表。
4. 组合最终顶点：通过稳定的顺序保留的顶点，得到裁剪后的多边形x。

解答#

将圆形转化成多边形，再使用裁剪算法。

法2

裁剪一个多边形到圆形裁剪区域可以使用以下方法：

1. 确定圆的中心和半径：

   • 定义圆形裁剪区域的中心点（C）和半径（r）。

2. 遍历多边形的每条边：

   • 对于多边形的每一条边，检查其两个端点是否在圆形裁剪区域内。

3. 判断顶点位置：

   • 对于多边形的每一个顶点（P）：
     • 计算点 P 到圆心 C 的距离：$d=\sqrt{(P_x−C_x)^2+(P_y−C_y)^2}$
   • 如果$d \leq r$，则该点在圆内部，保留该顶点。
   • 如果$d > r$，则该点在圆的外部，需要进行裁剪。

4. 检查边与圆的交点：

   • 对于在圆外的边，计算该边与圆的交点：
     • 使用参数方程表示边：如果边的两个点是P1和P2，可以表示为：$P(t)=P_1+t(P_2−P_1),0≤t≤1$
     • 将这个方程代入圆的方程：$(P_x(t)−C_x)^2+(P_y(t)−C_y)^2=r^2$
     • 解这个方程来找到交点$P_{intersection}$。

5. 构建裁剪后的多边形：

   • 将保留的顶点和交点组合成一个新的顶点列表，构成裁剪后的多边形。