1.1 三角学#

• 定义 (Definition): 研究三角形的边长和角度之间的关系

• 公式 (Formulas):

  $$a = c \cdot \cos \alpha, \quad b = c \cdot \cos \beta$$ $$a = c \cdot \sin \beta, \quad b = c \cdot \sin \alpha$$ $$b = a \cdot \tan \alpha, \quad a = b \cdot \tan \beta$$

1.2 三角学性质#

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
• $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
• $\cos \alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$
• $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

2.1 矩阵定义#

• 矩阵是一个矩形数组，可以包含数值、表达式或函数。

• 在计算机图形学中，通常只考虑数值矩阵。

• 方阵 (Square Matrix): 当矩阵的行数和列数相等时，称为方阵。

2.2 基本矩阵运算#

3.1 平移 (Translation)#

• 公式:

  $$x' = x + t_x, \quad y' = y + t_y$$

• 矩阵形式:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

  $P'=T(t_x,t_y)\cdot P$

3.2 缩放 (Scaling)#

• 公式:

  $$x' = x \cdot s_x, \quad y' = y \cdot s_y$$

• 矩阵形式:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

  $P'=S(s_x,s_y)\cdot P$

• 关于任意参考点的缩放:

  1. 平移参考点到原点。
  2. 关于原点缩放。
  3. 平移回原位置。

  $P'=T(x_f,y_f)\cdot S(s_x,s_y) \cdot T(-x_f,-y_f) \cdot P$

3.3 旋转 (Rotation)#

• 关于原点的旋转:

  $$x' = x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta$$ $$y' = x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta$$

• 矩阵形式:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

  $P'=R(\theta)\cdot P$

• 关于任意点的旋转:

  1. 平移旋转点到原点。
  2. 关于原点旋转。
  3. 平移回原位置。

  $x' = x_r + (x - x_r) \cdot \cos \theta - (y - y_r) \cdot \sin \theta$

  $y' = y_r + (x - x_r) \cdot \sin \theta + (y - y_r) \cdot \cos \theta$

  $P'=T(x_r,y_r)\cdot R(\theta) \cdot T(-x_r,-y_r) \cdot P$

3.4 错切 (Shearing)#

• 水平错切 (Horizontal Shearing):

  

  $$x' = x + \lambda_x \cdot y, \quad y' = y$$

• 垂直错切 (Vertical Shearing):

  

  $$x' = x, \quad y' = y + \lambda_y \cdot x$$

• 矩阵形式:

  $$\text{水平错切 (Horizontal Shearing): } \begin{bmatrix} 1 & \lambda_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\text{垂直错切 (Vertical Shearing): } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \lambda_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

4.1 平移 (Translation)#

• 公式:

  $$x' = x + t_x, \quad y' = y + t_y, \quad z' = z + t_z$$

• 矩阵形式:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

4.2 缩放 (Scaling)#

• 公式:

  $$x' = x \cdot s_x, \quad y' = y \cdot s_y, \quad z' = z \cdot s_z$$

• 矩阵形式:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

4.3 旋转 (Rotation) :whale2:#

• 关于坐标轴的旋转:

  • 绕 $x$ 轴旋转 (Rotation About $x$-Axis):

    $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

    旋转90度的矩阵为：

    $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  • 绕 $y$ 轴旋转 (Rotation About $y$-Axis):

    $$\begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

    旋转90度的矩阵为：

    $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  • 绕 $z$ 轴旋转 (Rotation About $z$-Axis):

    $$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

    旋转90度的矩阵为：

    $$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 任意轴旋转 (Rotation About an Arbitrary Axis):

  绕任意轴旋转需要使用角轴参数法，并将其转化为矩阵表示。

  

  1. 旋转轴

     • 旋转轴由一个单位向量 $n=(n_x,n_y,n_z)$ 表示，定义了旋转的方向。

     • 该向量通常是一个归一化向量，即满足：

       $∥\textbf{n}∥=n_x^2+n_y^2+n_z^2=1$

       $\textbf{n}=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

  2. 旋转角度

     • 旋转角度 $θ$ 表示绕旋转轴旋转的角度，通常以弧度为单位。

  3. 旋转点

     • 被旋转的点 $\textbf{p}=(x,y,z)$ 是旋转操作的输入。

  4. 旋转公式：

     $$\textbf{n}=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$ $$\textbf{r} = (\textbf{n}⋅\textbf{p})\textbf{n}$$ $$\textbf{s} = \textbf{p}-\textbf{r}$$ $$\textbf{v} = \textbf{n}×\textbf{s} = \textbf{n}×\textbf{p}$$ $$\textbf{q} = \cos ⁡θ\textbf{s} + \sin ⁡θ\textbf{v}$$ $$\textbf{p}′=\textbf{r}+\textbf{q}$$ $$=(\textbf{n}⋅\textbf{p})\textbf{n}+\cos ⁡θ(\textbf{p}-(\textbf{n}⋅\textbf{p})\textbf{n})+\sin ⁡θ(\textbf{n}×\textbf{p})$$ $$=\cos ⁡θ⋅\textbf{p}+(1−\cos ⁡θ)(\textbf{n}⋅\textbf{p})\textbf{n}+\sin ⁡θ(\textbf{n}×\textbf{p})$$
     • 第一项: $\cos⁡θ⋅p$ 表示点 $p$在旋转过程中保持的分量。
     • 第二项: $(1−\cos⁡θ)(n⋅p)n$ 表示点 $p$ 在旋转轴方向上的投影分量。
     • 第三项: $\sin⁡θ(n×p)$ 表示点 $p$ 在旋转平面内的分量。

  

1.Write Transformation Matrix#

A 3D object is rotated by 90 degrees about an axis passing from (0, 1, 1) to (2, 1, 1). Write out the transformation matrix.

写出绕轴(0,1,1)至(2,1,1)旋转90°的变换矩阵。

2. Describe Transformation Matrix#

Describe what transformation the matrix $M$ performs when applied to a 3D object:

描述这个3D变换矩阵做什么操作。